Penjelasan mengenai Barisan dan Deret Geometri

BARISAN GEOMETRI 

Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Jika suku pertama (U₁) dinotasikan a dan rasio dinyatakan dengan r, maka suku-suku barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: a, ar, ar², ……, ar^n-1.

Sehingga suku ke-n suatu barisan geometri dirumuskan : U_n= ar^n-1
Sedangkan jika Un dibagi dengan Un-1 didapat r,
sehingga  diperoleh rumus untuk r :

DERET GEOMETRI

Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.

Bentuk baku deret geometri adalah:  a + ar + ar² + …… + ar^n-1 . Jumlah n  suku pertama deret geometri dinyatakan dengan S_n, dan dirumuskan:

Untuk deret geometri dengan -1< r <1 dikatakan bahwa deret tersebut konvergen atau mempunyai jumlah sampai tak hingga suku.

Jumlah takhingga dilambangkan dengan S ~ dan dirumuskan :

 

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1 
dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r² 
Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

1. 
   

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀      = (1 + P/100)² M₀.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awalM_n = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).